Mexikanische Würfelei

Bis es mit PHERS weiter geht, dauert es noch ein bisschen. Um diese Pause zu überbrücken, stelle ich Euch eine kleine Spielerei vor, an die ich gerade in einem ganz anderen Zusammenhang denken musste (was auch bedeutet, ich spare mir ein bisschen Arbeit, indem ich einen Teil von dem, was ich bereits woanders geschrieben habe, hierher kopiere):

Vor langer, LANGER Zeit, als ich gerade mein Physikstudium begann (ich sage doch – vor LANGER Zeit!), stieß ich auf eine kleine Zeitschrift, die vom Fachbereich Mathematik meiner Uni heraus gegeben wurde, den “Einheizkreis” (coooler Name, oder?). Darin befanden sich einige nette mathematische Rästel, Tricks und Spielereien, unter anderem die so genannte “Mexikanische Würfelei”.

Man nimmt dafür drei sechsseitige Würfel, allerdings keine “normalen”, die jeweils die Zahlen 1 bis 6 zeigen, sondern drei spezielle (im Spielefachhandel sollte man übrigens Blankowürfel kriegen können, falls man Lust hat, sich seine eigenen mexikanischen Würfel zu basteln), welche wie folgt beschriftet sind:

Würfel A: 1, 4, 4, 4, 4, 4

Würfel B: 2, 2, 2, 5, 5, 5

Würfel C: 3, 3, 3, 3, 3, 6

Wie auf normalen Sechsseitern auch ist die Augensumme jedes Würfels 21. Sind diese Würfel aber deswegen auch “gleich gut”? Nun, probieren wir doch einmal folgendes Spiel aus: Ihr sucht Euch einen dieser Würfel aus. Dann suche ich mir einen aus. Wir würfeln beide und vergleichen die Ergebnisse. Wer das höhere Ergebnis hat, kriegt einen Punkt. Das machen wir einhundert Mal. Wer dann die meisten Punkte hat, ist der Gesamtsieger. Einfach genug, oder? Also – welchen Würfel nehmt Ihr? Sucht Euch den besten aus!

Okay, okay, Ihr werdet wohl misstrauisch genug sein um zu vermuten, dass es nicht einfach einen „besten“ Würfel gibt. Tatsächlich wird es mir immer möglich sein, auf Eure Wahl so zu reagieren, dass ich mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit gewinne! Es gewinnt nämlich

B gegen A,

C gegen B

und A gegen C.

Faszinierend, nicht? Um das einmal aufzudröseln: Jeder Würfel zeigt insgesamt 21 Augen, und alle Zahlen zwischen 1 und 6 sind auf den Würfeln vertreten (aber keine auf zwei verschiedenen), doch ihre Verteilung ist so, dass die extremen Zahlen am seltensten zu finden sind und die mittleren am häufigsten: Eine 1, drei 2en, fünf 3en, fünf 4en, drei 5en und eine 6. Durch diesen „Trick“ besitzen die Würfel verschiedene Stärken und Schwächen.

Würfel A ist Würfel C fast immer überlegen, weil beide sehr viele mittlere Zahlen zeigen – aber die von A sind nun einmal höher. Zwar hat C zum Ausgleich eine extrem hohe Zahl (und A eine extrem niedrige), aber da diese Extreme nun einmal nur selten zum Tragen kommen, ist A im Vergleich klar stärker. (Wenn Ihr es ausrechnet, gewinnt A in 25 gegenüber 11 von 36 Fällen.)

Würfel B ist da moderater, mit jeweils einer mäßigen Anzahl zweier mäßig extremer Werte. Da diese mäßig extremen Wert (2 und 5) über bzw. unter beiden mittleren Werten (3 und 4) liegen, macht es keinen Unterschied, dass A und C sich hier unterscheiden – Wenn A oder C ihren häufigen Wert erzielen, dann liegt B halt immer in der Hälfte der Fälle drüber und in der anderen drunter. Hier spielen die extremen Werte von A und C Zünglein an der Waage, denn diese liegen IMMER unter bzw. über den moderaten Werten von B, und da dies in einem von 6 Fällen vorkommt, besitzt B diesen Würfeln gegenüber einen entsprechenden Vor- oder Nachteil (insgesamt 21 gegenüber 15 von 36 Fällen – nicht ganz so klar, wie im Vergleich von A mit C, aber immer noch sehr spürbar).

Ich finde so etwas ja faszinierend!

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Published in: on Januar 22, 2009 at 5:33 pm  Comments (4)  
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4 KommentareHinterlasse einen Kommentar

  1. Interessant, aber relativ logisch.

    Der gemeine Trick ist ja nur, dass nicht Differenz verglichen wird, sondern welche Zahl größer ist.
    Mit 4 gegen 3 bekommt man einen Punkt, mit 6 gegen 1 aber auch nur einen, anstatt 5…

    Sollte man die Zahlen selbst zusammenzählen, oder die Differenz beachten, hat alles wieder seine Ordnung und keiner gewinnt auf Dauer.

    Oder liege ich falsch?

  2. Nö, Du hast natürlich Recht, da die Gesamtaugenzahl ja bei jedem Würfel die gleiche ist. (Die Differenzen zwischen den Ergebnissen zusammenzuzählen ist schließlich nur eine andere Art, die Ergebnisse selbst zusammenzuzählen und zu vergleichen).

  3. Und was wenn das Spiel 3 Leute spielen, also alle Würfel im Spiel sind?

  4. Naja, das kannst Du Dir ja problemlos ausrechnen, so viele Fallunterscheidungen sind das ja nicht… Wann gewinnt welcher Würfel? C immer bei einer 6, sowie bei einer 3 wenn B eine 2 und A eine 1 zeigt; B mit einer 5 wenn C keine 6 zeigt, und A mit einer 4 wenn B eine 2 und C eine 3 zeigt. Also:

    C: 1/6 + 5/6*1/2*1/6 = 17/72 ~ 23,6%
    B: 1/2*5/6 = 30/72 ~ 41,7%
    A: 5/6*1/2*5/6 = 25/72 ~ 34,7%

    In diesem Fall ist B also der beste Würfel und C der schlechteste.

    Interessant wird es dann aber wieder, wenn jeder potenzielle Spieler C, B oder A nehmen kann (gleiche Würfel haben offenbar 50% Gewinnchance gegeneinander, wenn man Unentschieden neu würfelt), sich aber vorher festlegen muss, denn wenn B der stärkste Würfel ist, dann kann man erwarten, dass andere Spieler auch mit B ankommen… in welchem Fall es doch wieder sinnvoll ist, A anzubringen! Beziehungsweise, wenn man davon ausgeht, dass der andere auch so weit gedacht hat, dann vielleicht sogar C… und so weiter!

    Bei Magic nennt man das „Metagaming“…


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